Magíster en Matemáticas

Magíster en Matemáticas

El programa de Magíster en Matemática, ofrecido por el Instituto de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, tiene más de 40 años de experiencia formando graduados de alto nivel en el dominio de la disciplina.

El Programa, de carácter académico, tiene como objetivo ofrecer una formación sólida en las áreas fundamentales de la matemática y especializar al alumno en alguna de las líneas de investigación existentes en el Instituto. Sus egresados estarán capacitados para continuar estudios de doctorado o integrar equipos de investigación científica.

El cuerpo académico del programa está compuesto por investigadores que cultivan la disciplina Matemática a través de las siguientes líneas de investigación:

Análisis Numérico

Matemática Interdisciplinaria

Sistemas Dinámicos

Teoría de Números

• Director: Luis Lomelí
• Consultas al [56 32] 227 4038, o a postgrado.ima@pucv.cl

Requisitos

Podrán postular al Programa conducente al grado de Magíster en Matemáticas, sean de nacionalidad chilena o extranjera, quienes estén en posesión del grado de Licenciatura o de un título profesional equivalente, de al menos 4 años de duración, cuyo nivel y contenido de estudios se corresponda con los necesarios para obtener el grado de Licenciatura requerido, en el ámbito de las disciplinas propias o afines con este Programa.

Para postular, se debe:

• Ingresar al “Portal de Postulaciones – Postgrado 2025” durante el período de postulaciones abiertas. Ingresar su información básica y enviar la documentación señalada en la pestaña titulada “Admisión”. (Julio 15 – Noviembre 4, 2024)
• Rendir y aprobar los exámenes de admisión en Álgebra y Análisis (Noviembre 8, 2024).
• Encontrarse en condiciones de continuar o iniciar estudios de magíster a partir del mes de marzo de 2025.
• Entrevista con la Comisión de Admisión.

Exámenes de Admisión previos (formato nuevo a partir de 2020: 1 hora 30 min cada parte)

• Examen de Álgebra y Análisis 2022
• Examen de Álgebra y Análisis 2021
• Examen de Álgebra y Análisis 2020

Exámenes de Admisión Anteriores (formato antiguo: 3:00 horas cada examen)

• Examen de Álgebra 2014
• Examen de Análisis 2014 
• Examen de Álgebra 2015
• Examen de Análisis 2015
• Examen de Álgebra 2016
• Examen de Análisis 2016

Modalidad

Plan de estudio

El Programa de Magíster en Matemáticas tiene como duración 4 semestres.

SEMINARIO Y TRABAJO DE TESIS

Seminario

Propuesta de Proyecto

Trabajo de Tesis

Lineas de investigación

Las líneas de especialización con las que cuenta el programa son:

Análisis Numérico

Matemática Interdisciplinaria

Sistemas Dinámicos

Teoría de Números

Oferta de Asignaturas Optativas

Semestre 2, 2024

Semestre 1, 2024

Semestre 2, 2023

Semestre 1, 2023

Semestre 2, 2022

Semestre 1, 2022

Semestre 2, 2021

Semestre 1, 2021

Semestre 2, 2020

Semestre 1, 2020

Requisitos de postulación

Podrán postular al Programa conducente al grado de Magíster en Matemáticas, sean de nacionalidad chilena o extranjera, quienes estén en posesión del grado de Licenciatura o de un título profesional equivalente, de al menos 4 años de duración, cuyo nivel y contenido de estudios se corresponda con los necesarios para obtener el grado de Licenciatura requerido, en el ámbito de las disciplinas propias o afines con este Programa.

• Ingresar al Portal de Postulaciones - Postgrado PUCV.


• Haber rendido y aprobado los exámenes de admisión en Álgebra y Análisis. Los exámenes tendrán lugar el 8 de Noviembre de 2024:
  Álgebra : 9:00 - 10:30 horas.
  Análisis : 11:00 - 12:30 horas.
  
• Encontrarse en condiciones de continuar o iniciar estudios de magíster a partir del mes de marzo de 2025.
• Entrevista con la Comisión de Admisión.

Documentos para la postulación

Para postular al programa, favor de ingresar a:

• Portal de Postulaciones – Postgrado PUCV.

durante las fechas Julio 15 – Noviembre 4, 2024. Además de su información básica, se debe subir a la plataforma la siguiente documentación en formato pdf:

• Formulario de postulación (según formato preestablecido).
• Curriculum Vitae (según formato preestablecido).
• Copia de título profesional y/o grado académico o certificado de éstos. Excepcionalmente se aceptarán postulaciones de interesados/as que concluyan sus estudios de pregrado hasta el 1 de Marzo de 2025.
• Certificado de calificaciones con indicación de las asignaturas aprobadas y reprobadas.
• Certificado de ranking de egreso de pregrado.

Enviar lo siguiente a la dirección de postgrado (postgrado.ima@pucv.cl):

• Dos cartas de recomendación.

DOCUMENTOS:

– INSTRUCTIVO 2025

– FORMULARIO DE POSTULACIÓN 2025

– CV POSTULANTE 2025

La Comisión requerirá adicionalmente para cada postulante:

• Rendir los exámenes de admisión en Álgebra y Análisis.

(ver los contenidos de los exámenes de admisión en el Instructivo de postulación, así como versiones de años anteriores en el menú desplegable “Requisitos”).

Todos las/los postulantes cuyas postulaciones estén consideradas dentro de las bases, deberán realizar una entrevista con la Comisión de Admisión, cuyo objetivo es profundizar en los intereses y aptitudes de los postulantes, así como orientarlos personalmente respecto al Programa.

Bitácora

Julio 2024

Lunes 15: Inicio del período de postulación en línea.

Noviembre  2024

Lunes 4: Término del período de postulación en línea.

Viernes 8: Exámenes de admisión (Ver contenidos en Instructivo de Postulación 2025).

Lunes 11: Recepción de cartas de recomendación hasta las 23:59 hrs (hora continental chilena).

Miércoles 13: Entrevistas con la comisión de admisión.

Viernes 15: Entrega de resultados admisión 2025.

Diciembre 2024

Lunes 2 – Viernes 20: Entrega de Antecedentes (Estudiantes Aceptados)

Marzo  2025

Matrículas

Inicio de Clases

Postulación

Para postular o ver el video, haga click en la imagen correspondiente:

Manual de usuario para el Postulante

Arancel

Valor total del programa: $ 4.440.000 (4 semestres).

Valor matrícula semestral: $ 122.000.

BECAS:

Los estudiantes del Programa son elegibles para postular a las Becas de Magister Nacional de ANID y a las Becas de Postgrado internas ofrecidas por la PUCV. Adicionalmente, los alumnos tesistas pueden recibir aportes de proyectos FONDECYT cuando sea pertinente.

Perfil de Ingreso y Egreso

• Cuenta con una formación universitaria básica en Matemáticas o un área afín.
• Maneja un lenguaje técnico y formal adecuado para el estudio de la disciplina, y expresa argumentos matemáticos de forma lógica y precisa.
• Tiene la motivación y el hábito de estudio requeridos para profundizar en una de las líneas de investigación existentes en el Instituto de Matemáticas. En particular, tiene el compromiso de dedicación requerido por un Programa de tiempo completo.
• Tiene la capacidad de aplicar la teoría en la resolución de problemas provenientes de la matemática u otras áreas de las ciencias o ingenierías.
• Tiene el compromiso de conducirse con integridad y honestidad con sus pares y docentes.
• Busca obtener un grado de especialización que le permita perfeccionar su formación académica, con dominio de los fundamentos de la matemática, que le faciliten retribuir con vocación de servicio a nuestra sociedad.

• Cuenta con conocimientos, habilidades y técnicas propias de la disciplina en Álgebra, Análisis, Topología y Geometría.
• Tiene la capacidad de estudiar, comprender, analizar, sintetizar y exponer tópicos de matemática contemporánea.
• Cuenta con conocimientos generales, habilidades y técnicas propias de alguna de las líneas de investigación desarrolladas en el Instituto.
• Recopila, selecciona, analiza y sintetiza información desde fuentes científicas pertinentes.
• Realiza un trabajo de investigación guiado por un investigador experimentado, conoce el estado del arte y lo proyecta mediante la formulación de preguntas relevantes.
• Produce escritos científicos de forma independiente con un estilo de escritura matemática adecuada.
• Discrimina la pertinencia del aporte de su línea de investigación a un problema planteado desde otra área del conocimiento.
• Desde su especialidad, apoya el planteamiento, desarrollo e implementación de modelos matemáticos adecuados para resolver problemas, motivados por investigación matemática o no matemática, y establece diccionarios que le permitan contextualizar, interpretar y comunicar los modelos y resultados obtenidos.

Graduados

• Fabián Levicán (2023). Teoría de Números. Directores: Sebastián Herrero y Pedro Montero.
• Título de Tesis: Towards Potential Density of Rational Points on Elliptic K3 Surfaces.
• Abstract: Sea X una variedad proyectiva suave definida sobre un cuerpo de números K. Decimos que los puntos racionales en X son potencialmente densos si X(K′ ) es Zariski denso para cierta extensión de cuerpos finita K′ de K. El estudio de la densidad potencial es un problema importante en geometría aritmética. Algunas estrategias comunes en la literatura son estudiar variedades algebraicas con grupos de automorfismos grandes, con fibraciones elípticas o abelianas, o con ciertos fibrados cónicos. En este trabajo proveemos una breve introducción a la teoría de las superficies elípticas y K3, y describimos en detalle técnicas originalmente de Bogomolov y Tschinkel usadas para propagar puntos racionales en superficies K3 que admiten fibraciones elípticas.

• Luis Carrasco (2022). Sistemas Dinámicos. Director: Francisco Valenzuela.
• Título de Tesis: Dimensión de Hausdorff: una introducción y aplicaciones.
• Abstract: Introducimos la noción de Dimensión de Hausdorff ya que nos permite caracterizar conjuntos desde una persperctiva intrínseca a su topología. A grandes rasgos, mide el tamaño local de un espacio teniendo en cuenta la distancia entre sus puntos. Vemos diferentes ejemplos de conjuntos fractales como el conjunto de Cantor, la curva de Von Koch y los conjuntos de Julia. Vemos diferentes aplicaciones, donde damos énfasis al sistema iterado de funciones, el cual está conformado por contracciones y nos ayuda a definir su conjunto maximal invariante. Estudiamos diferentes formas para calcular su dimensión de Hausdorff dependiendo si las contracciones
  son lineales o no lineales.

• Javier Silva (2022). Teoría de Números. Director: Sebastián Herrero.
  • Título de Tesis: Último Teorema de Fermat y Teoría de Kummer.
  • Abstract: Se demuestra un caso particular del famoso teorema conocido como Último Teorema de Fermat. Este caso particular consiste en mostrar que no hay soluciones enteras a la ecuación del teorema para ciertos exponentes llamados primos regulares. Para aquello se estudian conceptos como factorización en anillos, ideales fraccionarios, grupo y número de clase, cuerpos ciclotómicos, anillo de enteros, números de Bernoulli y se demuestran diversos resultados de teoría algebraica de números.En segunda instancia, se demuestran dos resultados centrales de la llamada teoría de Kummer, la cual estudia las llamadas extensiones de Kummer. Estas extensiones consisten en la adjunción de ciertas m-raíces a un cuerpo base que contiene al grupo de las m-raíces de la unidad. El primer resultado da características a las extensiones de Kummer, las cuales consisten en que son extensiones de galois, abelianas y de exponente m, junto con información de su orden y kernels asociados a cierto homomorfismo de grupos. El segundo resultado afirma el recíproco; si una extensión es de las características previamente mencionadas, entonces es una extensión de Kummer. Para estos propósitos, se demuestran ciertos resultados de álgebra abstracta y teoría de Galois.

• Javier Navarro (2021). Teoría de Números. Director: Luis Lomelí.
  • Título de Tesis: Langlands-Shahidi representations for G2.
  • Abstract: Estudiamos las representaciones de Langlands-Shahidi para el grupo semisimple de tipo G2. Estas representaciones se obtienen al observar la acción adjunta de la componente de Levi de los subgrupos parabólicos estándar maximales del grupo de Langlands dual de G2 en el álgebra de Lie del unipotente radical. Después de hacer un repaso en la estructura de grupos reductivos escindidos a través de los datos de raíces, obtenemos que esencialmente las componentes de Levi son el grupo general lineal sobre el cuerpo complejo GL(2,C). Presentamos un estudio en las representaciones racionales complejas de dimensión finita de GL(2,C) y lo aplicamos para entender la representación adjunta. Nuestro propósito principal es obtener todas las representaciones de Langlands-Shahidi para el grupo G2, demostrando que, como lo había observado Langlands en su monografía en Euler Products, esencialmente hay tres distintas: la representación trivial de dimensión uno, la representación estándar y la tercera potencia simétrica de la representación estándar.

• Gabriel Pinochet (2021). Análisis Numérico. Director: Ignacio Muga.
  • Título de Tesis: Semi-analytical solutions for Asymptotic Models for the Electric Potential Problem across Highly Conductive Casings.
  • Abstract: Las carcasas delgadas altamente conductivas representan un gran desafío al momento de simular numéricamente instrumentos de registro de pozos. Ingeniosos modelos asintóticos pueden reemplazar la presencia de la carcasa metálica por condiciones de transmisión de impedancia en dichas simulaciones numéricas. La precisión de tales esquemas numéricos se puede probar con soluciones de referencia calculadas semi-analíticamente en configuraciones geométricas simples. Esta tesis proporciona un enfoque general para construir esas soluciones de referencia para tres modelos diferentes: un modelo de referencia que de hecho considera la presencia de la carcasa; un modelo asintótico que evita cálculos en el dominio de la carcasa; y un modelo asintótico que reduce la presencia de la carcasa a una interfaz. Nuestra técnica utiliza una representación de Fourier de las soluciones, donde se ha tenido especial cuidado en la integración analítica de singularidades para evitar inestabilidades numéricas.

• Melanie Vargas (2021). Teoría de Números. Director: Sebastián Herrero.
  • Título de Tesis: Triángulos hiperbólicos aritméticos con lados en progresión aritmética.
  • Abstract: El objetivo de esta tesis es estudiar una generalización de los triángulos de Herón clásicos (de la geometría euclidiana) en el contexto de la geometría hiperbólica. Partimos estudiando los triángulos de Herón con lados en progresión aritmética (PA), los cuales están relacionados con estudiar las soluciones de ciertas ecuaciones diofánticas. En el trabajo se dará una generalización de los triángulos de Herón para la geometría hiperbólica, los cuales llamaremos triángulos hiperbólicos aritméticos, y estudiaremos si es posible que existan dichos triángulos con lados en PA. Como antes, este problema se puede traducir a estudiar las soluciones de ciertas ecuaciones diofánticas, que en este caso corresponden a curvas hiperelípticas. Nos enfocaremos en el caso de triángulos hiperbólicos aritméticos rectángulos y concluiremos con el Teorema A: no existen triángulos hiperbólicos aritméticos rectángulos con lados en PA. Se realizará la demostración de dicho Teorema utilizando curvas elípticas y se concluirá el trabajo con el caso general para triángulos hiperbólicos aritméticos no necesariamente triángulos, con lados en PA, donde se verá que la existencia de dichos triángulos está relacionada con hallar puntos racionales de cierta familia de curvas hiperelípticas parametrizadas por el ángulo mayor de estos triángulos.

• Daniel Pizarro (2020). Sistemas Dinámicos. Director: Matthieu Arfeux.
  • Título de Tesis: Alternative interpretation of the derivative of Thurston´s pull-back map.
  • Abstract: La tesis presenta las herramientas de la demostración de teorema de Thurston de caracterización de las fracciones racionales dentro de los cubrimientos ramificados topológicos. En particular, para dicha demostración se utiliza la aplicación “pull back” sobre un espacio de Teichmüller. Daniel recuerda la estructura analítica y la definición de los espacios tangentes y cotangentes al espacio de Teichmüller que permiten demostrar que esta aplicación es débilmente contractante. Daniel introduce una nueva definición de esos espacios y demuestra que es idéntica a la precedente. Esta demostración es totalmente nueva y permite tener una mejor interpretación de todo el trabajo hecho en la demostración original del teorema de Thurston.
• Cristóbal Torres (2020). Teoría de Números. Director: Luis Lomelí.
  • Título de Tesis: Representaciones de GL(n,F) y Modelos de Whittaker.
  • Abstract: La Teoría de Representaciones consiste en estudiar el comportamiento de un objeto abstracto, representando sus elementos por medio de transformaciones lineales de espacios vectoriales. Actualmente es un área de investigación bastante activa, por lo que en este escrito, presentaremos una introducción elemental a la Teoría de Representaciones del Grupo General Lineal GL(n,F), donde F es un cuerpo p-ádico. Como sucede con toda estructura algebraica, nos interesamos en estudiar sus propiedades, y hacemos énfasis en las distintas subestructuras. Nuestro objetivo es comprender y presentar una demostración completa del Teorema de Multiplicidad Uno sobre un cuerpo local no Arquimedeano, para el Grupo General Lineal. Esta propiedad fué inicialmente probada por Shalika, y luego reescrita por Bernstein y Zelevisnky utilizando métodos geométricos de Gel’fand y Kazhdan con haces de representaciones. Reinterpretaremos esto último, utilizando un lenguaje moderno como el de Bushnell y Henniart.
• Paola Rivera (2020). Sistemas Dinámicos. Director: Matthieu Arfeux.
  • Título de Tesis: Homeomorfismos del círculo y Renormalización.
  • Abstract: Una renormalización se define teniendo en cuenta la dinámica inducida después de un cambio de coordenadas adecuado, de modo que todas las dinámicas consideradas ocurren en una escala espacial fija. La tesis estará dedicada a describir la búsqueda de condiciones que nos aseguren la existencia de una conjugación entre un homeomorfismo del círculo con la rotación irracional. Nos centraremos en cómo las características del número de rotación tienen repercusiones concretas en el comportamiento del sistema renormalizado. Y a partir de esto enseñar un bosquejo de demostración para el Teorema de Denjoy [1932]. Sea f:S¹→S¹ un difeomorfismo C¹ que preserva orientación con número de rotación irracional. Si f’ tiene variación acotada, entonces f es topológicamente conjugado con la correspondiente rotación irracional. La estrategia para demostrar el Teorema, por medio de la técnica de Renormalización, es asegurarnos que los mapas inducidos por ambas renormalizaciones asociadas al homeomorfismo y a la rotación respectivamente converjan suficientemente cerca.
• Bárbara Núñez (2020). Sistemas Dinámicos. Director: Carlos Vásquez.
  • Título de Tesis: Medidas que maximizan la entropía para aplicaciones tipo Kan.
  • Abstract: El objetivo de la tesis fue encontrar medidas de máxima entropía para un tipo de endomorfismos parcialmente hiperbólicos definido sobre el cilindro, introducidos por Ittai Kan en el 94. Para ellos se ocupó fuertemente la estructura de skew product, resultados sobre la semi-conjugación (Ledrappier-Walters) y medidas de máxima entropía (Principio Variacional). Por otra parte se usa la Teoría de Pesin y Principio de invarianza (Ávila – Viana) para describir qué propiedades debían cumplir dichas medidas y así poder describirlas. Se concluye que existen solo tres medidas de máxima entropía.
• Cristian Pérez (2019). Teoría de Números. Director: Luis Lomelí.
  • Título de Tesis: El grupo SL* sobre los cuaterniones p-ádicos.
  • Abstract: El trabajo de tesis abarca los tres temas siguientes: grupos SL*, álgebras de cuaterniones y cuerpos locales. El primer capítulo estudia y clasifica las álgebras de cuaterniones, con ejemplos clásicos provenientes del Teorema de Frobenius y el Teorema Pequeño de Wedderburn, además de cubrir el importante Teorema de Skolem-Noether. El segundo capítulo introduce detalladamente los cuerpos locales no arquimedianos, es decir, los p-ádicos. En el tercer capítulo, se unifican las álgebras de cuaterniones y los p-ádicos en las álgebras de división no escindidas sobre los p-ádicos. En el capítulo 4, se estudian los grupos SL* originalmente definidos por Pantoja y Soto-Andrade. Por último, en el capítulo 5, se introducen árboles asociados a un espacio vectorial de dimensión 2 sobre un álgebra de división, y se finaliza con una descomposición amalgamada de Ihara del grupo SL(2,H).
• Samuel Vega (2018). Sistemas Dinámicos. Director: Francisco Valenzuela.
  • Título de Tesis: Familia de perturbaciones singulares de polinomios complejos: Tricotomía de escape, límites geométricos y límites en medida.
  • Abstract: In this work, we will study the asymptotic behavior of the dynamics of the family R(z) = (z^n+l)/z^m = z^j + l/z^m, where 1 < m < n-1 and l in C*. Firstly, we study the main result of [7], the “Escape Trichotomy Theorem”. This result classifies the Julia set in a topological point of view, according to whether the critical values belong to specials components of Fatou set. Secondly, we classify the asymptotic behavior of the Julia set, when deg(R)=n goes to infinity, m has some control with respect to n and the parameter l is fixed. Roughly speaking, this result states that when |l_j| is greater than or equal to 1 Julia’s set is a Cantor set and approximates in the Hausdorff’s metric the unit circle; if |l_j|< 1: (1) m grows in function on n, Julia’s set is a Cantor set and approaches the unit circle, (2) if m is fixed, Julia’s set is a Cantor of circles, and this approximates a countable union of disjoints circles.
    Finally, we study limits of the measure of maximal entropy supported on Julia’s set. The main result of this section is to show that regardless of the geometric limit of the Julia family of sets, the limit of the maximal entropy measure converge to the Lebesgue measure supported in the unit circle.
• Gabriela Miranda (2018). Teoría de Representaciones. Director: Luis Gutiérrez.
  • Título de Tesis: Representaciones del Grupo Unitario U(1,1)(O).
  • Abstract: Centrada en la teoría de representaciones lineales de ciertos grupos finitos y p-ádicos, específicamente el grupo unitario U(1,1)(O), el cual consiste de todas las matrices con entradas en el anillo de enteros O de un cuerpo E extensión cuadrática ramificada de un cuerpo local F de característica residual impar, esta tesis se basa en el estudio de representaciones primitivas de U(1,1)(O) de nivel n+1 para el grupo unitario realizado por Gutiérrez Frez en “Construction of Primitive Representation of U(1,1)(O)”, donde el autor construye las representaciones de K=SL_*^(-1)(2,O) de manera genérica, presenta las construcciones de todas las representaciones primitivas de K de nivel n+1 (las cuales aparecen para n par), tal que toda representación irreducible del grupo sea de la forma ρ⨂(χ∘det) para algún caracter χ de O^×; es decir, representaciones irreducibles ρ de K tales que el kernel de ρ⨂(χ∘det) contenga a K_(n+1) pero no contenga a K_n; donde K_j, con j∈N, denota el kernel del mapeo canónico de K a SL_*^(-1)(2,[[O/P]]^j), con P el ideal maximal de O. Se concluye la tesis con un análisis de las representaciones primitivas del grupo unitario para un nivel en particular (nivel 3) explicitando su construcción, el conteo de representaciones y sus dimensiones.
• Nicolás Quezada (2018). Teoría de Números. Director: Gabriele Ranieri.
  • Título de Tesis: Método modular para la resolución de ecuaciones diofánticas.
  • Abstract: El teorema de Modularidad, antes conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura, fue la pieza clave para la demostración del último teorema de Fermat. Básicamente, el teorema afirma que toda curva elíptica definida sobre Q tiene asociada una cierta forma modular. Si bien el teorema fue planteado como conjetura en 1955, no fue hasta 1985 que Gerhard Frey encontró una conexión directa con el último teorema de Fermat. De cierta forma, Frey asoció una curva elíptica definida sobre Q a la ecuación diofántica de Fermat xn+yn=zn, n≥3, la que en caso de existir, no tendría una forma modular asociada. Entonces, con la demostración del teorema de modularidad, se tiene como consecuencia la demostración del teorema de Fermat. Esto abrió paso a resolver otros tipos de ecuaciones diofánticas replicando la idea de Frey, lo que actualmente es llamado método modular, el objetivo central de esta tesis.
• Víctor Trujillo (2018). Análisis Numérico. Director: Ignacio Muga.
  • Título de Tesis: El trabajo de tesis consiste en el estudio de un método semi analítico de resolución de PDEs sobre dominios por capas (dominios en que existe simetría en los parámetros físicos del problema en dos de las dimensiones espaciales) en este caso, utilizando alguna transformada (de Fourier o de Laplace por ejemplo) se puede llevar el problema inicialmente en 3 dimensiones a una ODE en una dimensión. Una vez transformado el problema inicial, obtenemos un dominio que se puede descomponer en subdominios, estos subdominios guardan relación con puntos críticos en los parámetros físicos del problema original, luego la solución al problema en el dominio completo, es una combinación lineal de soluciones a problemas locales. En la tesis se entregan dos técnicas para encontrar la solución a los problemas locales, una vía analítica, en caso de contar con la solución analítica al problema en cada subdominio antes mencionado, y otra netamente numérica, en la que se utiliza el método de elementos finitos para obtener la solución al problema transformado. Una vez que se tiene la solución al problema transformado, utilizando la inversa de la transformada mencionada en un principio, se obtiene la solución en el dominio inicial.
    La tesis incluye un desarrollo teórico del método, y resultados numéricos para un ejemplo en particular (ec de Helmholtz).
• Nicolás Álamos (2018). Teoría de Representaciones. Directores: Luis Lomelí y Gabriele Ranieri.
  • Título de Tesis: Grupos y Álgebras de Lie.
  • Abstract: La tesis se centró en las álgebras y grupos de Lie de tipo matriciales reales. Defino sus principales características, y ambas estructuras las relaciono por medio de la función exponencial y espacio tangente. Finalmente, trabajo una descomposición para ambas estructuras, que nos permite simplificar ciertas integrales sobre grupos de Lie matriciales, por medio de la fórmula de Gindikin-Karpelevich.
    Todo lo anterior, lo ejemplifico con álgebras de Lie clásicas y sus grupos de Lie asociados, en particular A_n,B_n,C_n y D_n.
• Tadashii Horta (2018). Sistemas Dinámicos. Director: Felipe Riquelme.
  • Título de Tesis: Entropía y dinámica local en variedades diferenciables.
  • Abstract: El primer capítulo de esta tesis presenta algunos elementos previos de teoría ergódica, dando las notaciones y teoremas que serán utilizados posteriormente, como el teorema de Birkhoff y el teorema de Shannon-McMillan-Breiman. En el segundo capítulo se demuestra el teorema de Oseledets. Para esto será necesario introducir el concepto cociclo lineal, que permitirá establecer una forma más general del teorema de Oseledets que será demostrada en subvariedades de un espacio euclidiano. En el capítulo 3 se demuestra la desigualdad de Ruelle. Este teorema se demuestra usando dos lemas previos, el primero da un estimado de la cota superior, y el segundo lema indica que dada una partición especial contruida en R, la cantidad de veces que la imagen de un punto vuelve al mismo elemento de la partición está controlada por el diferencial de la función en el punto. La demostración del teorema concluye al usar esta última estimación y el hecho de que los exponentes de Lyapunov aparecen como el crecimiento exponencial de la derivada en direcciones privilegiadas. En el cuarto capítulo se expone la demostración del teorema de Pesin, que se realiza probando dos resultados fundamentales. Primero, se demuestra que la medida de bolas dinámicas puede ser estimada por el volumen, lo que permite encontrar una cota inferior para la entropía. Posteriormente, se refina esta cota probando un resultado que controla la regularidad de las variedades estable e inestable, lo que requerirá definir el concepto de dispersión y demostrar lemas para controlar esta cantidad, tema que será tratado en las últimas secciones.
• José Luis López (2018). Sistemas Dinámicos. Director: Radu Saghin.
  • Título de Tesis: Removing zero central Lyapunov exponent of a partially hyperbolic automorphism of T^3.
  • Abstract: Los exponentes de Lyapunov tienen un rol fundamental en la comprensión de los sistemas dinámicos. Dichos sistemas son bien entendidos si todos los exponentes son distintos de cero, razón por la cual es problemático si aparece un exponente nulo. Particularmente, en este trabajo, presentaremos el caso de un automorfismo del toro T^3, el cual es parcialmente hiperbólico con un exponente de Lyapunov nulo, el cual será removido mediante perturbaciones locales suaves generadas en torno a puntos no periódicos. Esto ya había sido desarrollado anteriormente por Shub y Wilkinson en el año 2000, pero con perturbaciones globales. La adaptación realizada, consiste en fabricar flujos provenientes de campos de vectores asociados a sistemas similares a los Hamiltonianos. Dicha remoción trae como consecuencia que las foliaciones centrales no son absolutamente continuas en una vecindad C^1 del automorfismo, lo cual es posible demostrar mediante el conocido “argumento de Mañé”. Además, el resultado principal se puede extender a dimensiones mayores y también a variedades más generales a través del uso de cartas locales que preservan volumen.
• Danae Soto (2018). Teoría de Números. Director: Gabriele Ranieri.
  • Título de Tesis: Sobre el problema de Grunwald-Wang y una Pregunta de Cassels.
  • Abstract: En este escrito estudiamos dos problemas muy relacionados entre sí. Uno de ellos, es el principio de divisibilidad local-global sobre un grupo algebraico conmutativo definido sobre un cuerpo de números. Y el otro, es una pregunta de Cassels sobre la divisibilidad del grupo de Tate-Shafarevich. El principio de divisibilidad local-global, considera a A un grupo algebraico conmutativo definido sobre un cuerpo de números k y q un entero positivo. Supongamos que P ∈ A(k) es un punto tal que, para todas las completaciones v de k, existe D ∈ A(kv) tal que P = qD. ¿Cuándo podemos concluir que existe D ∈ A(k) tal que P = qD?
• Javiera Gallegos (2018). Teoría de Números. Director: Florence Gillibert.
  • Título de Tesis: Teoría de Iwasawa.
  • Abstract: Fue en una conferencia de 1956, cuando Kenkichi Iwasawa presentó la demostración de un teorema, que corresponde al Teorema 2.4.1 de este trabajo, que inauguraba lo que hoy llamamos teoría de Iwasawa. La teoría de Iwasawa describe el crecimiento de la p-parte de Sylow del grupo de clase en un tipo de extensiones de cuerpos llamadas Zp-extensiones o extensiones p-ádicas. El objetivo del primer capítulo de este trabajo es presentar resultados preliminares para el desarrollo del capítulo principal. Entre ellos se estudia el teorema fundamental de la teoría de Galois de extensiones infinitas, resultado que se emplea para desarrollar un ejemplo primordial: la existencia de Zp-extensiones. En el segundo capítulo se muestra un isomorfismo entre el anillo de series de potencias sobre un anillo de enteros de una extensión finita de Qp y el anillo de grupo profinito de Γ, con Γ un grupo topológico multiplicativo isomorfo al grupo (Zp, +). Para concluir se ennuncia el teorema de Iwasawa y se desarrolla la idea principal de su demostración. El presente trabajo está basado en el capítulo Teoría de Iwasawa de Zp-extensiones del libro Introduction to Cyclotomic Fields de Lawrence Washington.
• Rodrigo Castro (2017). Sistemas Dinámicos. Director: Carlos Vásquez.
  • Título de Tesis: Existencia de medidas invariantes absolutamente continuas para aplicaciones del intervalo.
  • Abstract: El trabajo está enfocado en la existencia de medidas invariantes absolutamente continuas (acim) para ciertas familias de transformaciones del intervalo, a saber, transformaciones uniformes y no uniformemente expansivas por tramos. Este trabajo se encuentra dividido en cuatro capítulos. El primero abarca conceptos preliminares en el estudio tales como operador de Perron-Fröbenius y funciones a variación acotada. El segundo capítulo introduce la familia de transformaciones uniformemente expansoras en finitos tramos, y luego muestra la existencia de medidas acim finitas bajo ciertas condiciones de regularidad. A continuación se generaliza este resultado al caso de numerables tramos. El tercer capítulo muestra un caso particular de existencia de medidas acim sigma-finitas para transformaciones no uniformemente expansoras, a saber, transformaciones uniformemente expansoras, salvo un punto de expansividad neutral. En el último capítulo, se resumen los resultados anteriores mediante un par de ejemplos que exhiben la dualidad sobre la existencia de acim finitas.
• Beatrice Lasala (2017). Teoría de Números. Director: Gabriele Ranieri.
  • Título de Tesis: Sobre la conjetura de Mazur y definibilidad de Z sobre Q.
  • Abstract: En esta tesis nos enfocamos en un problema que se relaciona de manera cercana con el análogo al décimo problema de Hilbert sobre cuerpos de números, y que tiene que ver con la definibilidad Diofántica de Z sobre Q. Estudiamos la conjetura planteada por Barry Mazur: Sea V cualquier variedad algebraica sobre Q. Entonces la clausura topológica, bajo la topología usual de R, de V(Q) en V(R) tiene a lo más una cantidad finita de componentes conexas. Nuestro estudio de esta conjetura será, principalmente, explicar como esta implica el Teorema: Si la conjetura de Mazur es verdadera, no existe una definición Diofántica de Z sobre Q. Además, estudiamos reformulaciones de la conjetura al caso de un cuerpo de números. En particular, veremos que en estos casos las reformulaciones de la conjetura no son ciertas a través de una serie de contraejemplos. Los resultados de Alexandra Shlapentokh sobre ecuaciones nórmicas, son un recurso que utilizamos frecuentemente.
• Sebastián Ramírez (2017). Sistemas Dinámicos. Director: Carlos Vásquez.
  • Título de Tesis: Dinámica de Automorfismos en Nilvariedades.
  • Abstract: El toro T^2 es un ejemplo de una nilvariedad y los Automorfismos (de Anosov) definidos allí constituyen un ejemplo básico e importante en el estudio de los sistemas dinámicos uniformemente hiperbólicos. En la tesis, aplicamos las herramientas usadas en los sistemas antes mencionados, para estudiar la dinámica de un Automorfismo parcialmente hiperbólico definido en la nilvariedad Heisenberg.
• María Sapiain (2017). Análisis Numérico. Director: Diego Paredes.
  • Título de Tesis: Un Método Híbrido-Mixto Multiescala para la Ecuación de Elasticidad Lineal.
  • Abstract: Se estudió una familia de métodos de elementos finitos para el problema de elasticidad lineal. El desarrollo de estos métodos inicia con una forma variacional híbrida para la ecuación de elasticidad lineal, la cual impone débilmente la continuidad de la solución, entre los elementos definidos en una malla gruesa, haciendo posible el uso de un espacio con regularidad local. De esto se obtiene un conjunto de problemas locales junto con una formulación global definida sobre los bordes de cada elemento. Los problemas locales son independientes entre si y de ellos se obtienen funciones de base, las cuales incorporan de forma natural comportamientos multiescala del problema.
• Sebastián Jara (2016). Teoría de Números. Director: Gabriele Ranieri.
  • Título de Tesis: Valores especiales de Funciones L de Dirichlet generalizadas.
  • Abstract: La demostración del Teorema de Siegel-Klingen que encontramos en la literatura, basada en ideas desarrolladas por Shintani (1976), consiste en continuar meromórficamente una generalización de la función zeta de Hurwitz, en el espíritu de la continuación analítica de la función zeta clásica. Posteriormente, se evalúa en valores especiales los cuales están dados por una serie de Laurent que resulta complicada de manipular, con la cual se justifica que los valores especiales son racionales. En el año 2004, Friedman y Ruijsenaars muestran el trabajo de Shintani desde un enfoque más sencillo. Ellos no evalúan inmediatamente en la extensión meromorfa de la función zeta encontrada, sino que notan que es posible interpretar sus valores especiales como soluciones de ecuaciones en diferencias satisfechas por la serie de Dirichlet que la define, junto a condiciones iniciales dadas por la anulación de ciertas integrales. Con lo anterior, logran fórmulas explícitas para la función zeta de Shintani evaluada sólo en el valor especial s=0. En este trabajo, se usan ideas de Friedman y Ruijsenaars, logrando fórmulas no explicítas, pero suficientemente simétricas, para todos los valores especiales de la función zeta de Shintani, con las cuales se da otra demostración del teorema de Klingen-Siegel.
• Aníbal Aguilera (2016). Teoría de Números. Director: Ricardo Menares.
  • Título de Tesis: Término constante de una forma modular de peso 2 en todas las cúspides de la curva modular Xo(N).
  • Abstract: En esta tesis encontraremos el término constate en cada cúspide de la curva modular Xo(N) de la serie de Eisenstein G2, N(z) = G2(z)−NG2(Nz), la cual es una forma modular de peso 2 para Γo(N). En esta sección mostraremos un caso en el cual se muestra por qué es interesante conocer estos términos y en los capítulos siguientes demostraremos este resultado con una demostración moldeada en un artículo de Billerey y Menares (2016).
• Nicolás Marambio (2016). Teoría de Números. Director: Gabriele Ranieri.
  • Título de Tesis: Formas Modulares sobre Cuerpos Finitos.
  • Abstract: Este trabajo se basa en la publicación hecha por Jean-Pierre Serre llamada “Congruences et formes modulaires”, la cual en una primera parte se basa en el estudio de las formas modulares sobre SL(2,Z) que tienen la característica que los coeficientes de su expansión de Fourier son racionales y p-enteros. El espacio de todas las reducciones módulo p de formas modulares de cualquier peso, es descrito de manera formal dependiendo del primo escogido. Si p = 2 o p = 3 se verá que este espacio es Fp[∆], y si p ≥ 5 se tendrá que está determinado por un polinomio irreducible A ∈ Fp(x, y). Hablaremos también de otras representaciones que se le pueden dar a las formas modulares a través de curvas elípticas y operadores diferenciales, en donde veremos como esto se conecta de forma directa con el polinomio A y con el concepto de invariante de Hasse.

Normativa

Proyecto Educativo

Reglamento del Programa (DRA No. 34/2020)

Reglamento General de Estudios de Magíster (DRA No. 24/2018)