Teoría de Números / Number Theory

Resumen

NUMBER THEORY

Our group studies Number Theory and its interconnections with Algebraic Geometry and Representation Theory. This includes Arithmetic Geometry, Automorphic Forms, Galois Representations and the Inverse Galois Problem.

An important topic of research is the Langlands Program, which provides a bridge between Number Theory and Representation Theory, generalizing classical results of Algebraic Number Theory and Analytic Number Theory. On the representation theoretic side, our research encompasses the study of Automorphic and Galois representations, as well as representations of Algebraic Groups over local and global fields.

Another important direction is the study of Automorphic Forms, which is interesting as a research area in its own right. They have been featured in the proof of Conway and Norton's conjecture on Monstrous Moonshine, the proof of Fermat's Last Theorem and the solutions of the sphere packing problem in dimensions 8 and 24.

The interplay between the Langlands Program and Automorphic Forms includes applications towards the Inverse Galois Problem, where Langlands functoriality, Serre's conjecture, and the classification and representations of finite groups of Lie type are the main tools. Further interconnections are surprisingly possible with the study of Function Fields, were we have applications towards the Generalized Ramanujan Conjecture.

TEORIA DE NUMEROS

Nuestro grupo se nutre de las interconexiones de la Teoría de Números con la Geometría Algebraica y la Teoría de Representaciones. Nuestros intereses incluyen Geometría Aritmética, Formas Automorfas, Representaciones de Galois y el Problema Inverso de Galois.

Un tópico importante de investigación es el Programa de Langlands, el cual provee un puente entre Teoría de Números y Representaciones, generalizando resultados clásicos de Teoría Algebraica de Números y Teoría Analítica de Números. Por el lado de las representaciones, nuestra investigación abarca el estudio de representaciones Automorfas y de Galois, además de representaciones de Grupos Algebraicos sobre cuerpos locales y globales.

Otra dirección importante es el estudio de Formas Automorfas, el cual es un tema de investigación interesante por sí mismo. Estas aparecen en las demostraciones de Conway y Norton sobre el fenómeno Moonshine para el grupo Monstruo, el Último Teorema de Fermat y la solución del problema de empaquetamiento esférico en dimensiones 8 y 24.

La relación entre el Programa de Langlands y las Formas Automorfas permite aplicaciones al Problema Inverso de Galois, donde la Funtorialidad de Langlands, la Conjetura de Serre y la clasificación y representaciones de Grupos Finitos de tipo Lie son las herramientas principales. Interconexiones adicionales son sorprendentemente posibles cuando estudiamos cuerpos de funciones, donde contamos con aplicaciones a la Conjetura Generalizada de Ramanujan.

Seminario AGV

En conjunto con los departamentos de matemáticas de la Universidad Técnica Federico Santa María y de la Universidad de Valparaíso, el equipo organiza el Seminario Aritmética y Geometría en Valparaíso.