Minicurso Curvas Elípticas p-ádicas

Introducción

El matemático Vincent Pilloni (CNRS/ENS Lyon) dará un minicurso de 4 sesiones de 1 hora y media sobre las curvas elípticas p-ádicas,  entre el 26 de Junio y el 1 de Julio, en el IMA. Se invita a matemáticos profesionales y estudiantes interesados en Teoría de Números y Geometría p-ádica.

Título:  La curva propia (the eigencurve)

PROGRAMA DEL CURSO

Jueves 26 de Junio (2 sesiones)

Sala 1-6, 11.00 a 12.30 hrs.

I Introducción : formas modulares sobre C, estructura aritmética, curvas modulares, descripción de los resultados.

Sala 2-2, 14.00 a 15.30 hrs.

II Geometria p-ádica de las curvas modulares : introducción a la geometría rígida, curvas elípticas ordinarias y supersingulares.

Viernes 27 de Junio (1 sesión)

Sala  2-2, de 11.30 a 13.00 hrs.

III Construcción del subgrupo canónico, aplicaciones.

Martes 1 de Julio (1 sesión)

Sala 2-3, de 10.00 a 11.30 hrs.

IV Análisis espectral p-ádico de operadores compactos, aplicaciones.
Resumen : Las formas modulares son  funciones holomorfas sobre el semiplano complejo que satisfacen una propriedad de transformación con respecto a un subgrupo de congruencia de SL_2(Z).  El álgebra de Hecke actúa de sobre los espacios de formas modulares y los sistemas de valores propios que aparecen tienen un contenido aritmético increíble.

Los espacios de formas modulares se pueden interpretar como espacios de secciones de haces invertibles sobre las curvas modulares. Como estas últimas se pueden definir sobre los enteros,  existe una estructura de Z-módulo sobre el espacio de formas modulares.

Nos vamos a interesar en las congruencias módulo una potencia p^n de un primo p entre los sistemas de valores propios. Vamos a mostrar que existen tantas congruencias que se pueden construir familias p-adicas de formas modulares. El espacio que parametriza las familias es una curva analítica “the eigencurve” cuyas propiedades son todavía muy misteriosas.

La construccion de esa “eigencurve” reposa  sobre la geometría p-ádica de las curvas modulares y sobre el análisis espectral de un operador compacto.