CURSILLO: Representaciones de Galois y la Conjetura de Serre.

Expositor: Adrián Zenteno (PUCV)

Fechas: 21 de septiembre 2020.

Resumen: Las representaciones de Galois han resultado ser una herramienta muy útil a la hora de vincular objetos geométricos (v. gr., variedades abelianas) con objetos analíticos (v. gr., formas modulares). El objetivo de este cursillo, es dar una introducción a la teoría de representaciones de Galois e ilustrar el funcionamiento de dicho vínculo.

De manera más precisa, empezaremos por introducir los conceptos básicos de la teoría de representaciones de Galois. A modo de ejemplo, explicaremos cómo construir representaciones de Galois a partir de curvas elípticas y formas modulares. Después, enunciaremos la conjetura de modularidad de Serre (ahora teorema), la cual nos proporciona una manera precisa de saber cuándo una representación de Galois módulo p (de dimensión 2) proviene de una forma modular. Finalmente (y si el tiempo lo permite), presentaremos algunas aplicaciones de dicha teoría a algunos problemas aritméticos clásicos.