Las Secciones Conicas

Historia de las Secciones Conicas

Durante toda la historia de la matematica los conceptos han sido mucho mas importantes que la terminologia utilizada. Sin embargo, la influencia de Apolonio sobre las secciones conicas tiene una importancia mayor a la usual.




Durante aproximadamente 150 años, se refirieron a ellas por la forma comun a como habian sido descubiertas: secciones de un cono agudo (u oxitoma), secciones de un cono rectangulo (u ortotoma), y secciones de un cono obtuso (u amblitoma). Arquimedes continuo utilizando estos nombres, aunque segun parece tambien uso ya el nombre de parabola como sinonimo para una seccion de un cono rectangulo. Sin embargo, fue Apolonio, posiblemente, siguiendo los consejos de Arquimedes, quien hablo o nombro por primera vez, las secciones conicas como "elipse" e "hiperbola". Los nombres dados no eran nuevos, sino que adaptados de un uso anterior, posiblemente obtenidos de los pitagoricos, como la solucion de ecuaciones cuadraticas por el metodo de aplicacion de areas.




$Ellipsis$, que significa una deficiencia, se utilizaba cuando un rectangulo dado debia aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado (u otra figura dada). mientras que la palabra $Hyperbola$ (de "avanzar mas alla") se adopto para el caso en que el area excedia el segmento dado y por ultimo la palabra $Parabola$ (de "colocar al lado" o "comparar") indicaba que no habia ni deficiencia ni exceso. Apolonio aplico estas palabras en un contexto nuevo utilizandolas con nombres para las secciones conicas.




MATH $de$ $la$ $Matematica$ de Carl B. Boyer.

$\func{Ci}encia$ $y$ $Tecnologia$ de Alianza Editorial.




Ecuaciones Generales, Ecuaciones Conicas y Definiciones de Las Secciones Conicas

Elipse: MATH $\wedge $ $a\neq b)$

Lugar geometrico de todos los puntos tal que la suma de la distancia de un punto (x,y) a un punto fijo (Foco 1) mas la distancia del mismo punto al otro punto fijo (Foco 2) sea siempre una suma constante que se representa por 2a. Si a>b la elipse es horizontal, si a<b la elipse es vertical.

MATH Elipse con centro en el punto (h,k). MATH Elipse con centro en el origen.


Las Secciones Conicas__17.pngMATH Centro (3,2)


Las Secciones Conicas__19.pngMATH Centro (0,0)

Parabola: MATH(Dependiendo si es vertical u horizontal)

MATH $Parabola$ $vertical.$ El signo $\pm $ ("mas" o "menos") dira si la abertura es hacia arriba o abajo.

MATH $Parabola$ $horizontal.$ Ell signo $\pm $ dira si la abertura es hacia derecha o izquierda respec.

Lugar geometrico de todos los puntos (x,y) que cumplan con que su distancia a la directriz (recta fija) sea igual a la distancia al punto fijo o Foco.


Las Secciones Conicas__30.png$y=2x^{2}+3x+1$

Hiperbola: MATH $deben$ $tener$ $distinto$ $signo)$

MATH $Horizontal$

MATH $Vertical$

Lugar geometrico de todos los puntos (x,y) que cumplan la condicion que la diferencia entre las distancias de un punto (x,y) a dos puntos fijos (Focos 1 y 2) sea siempre constante, condicion para cualquier punto de la hiperbola. Esta diferencia es 2a, donde "a" corresponde a la distancia desde el centro a cualquiera de los dos vertices de la hiperbola.


Las Secciones Conicas__41.pngMATH

Circunferencia: MATH

Lugar geometrico de todos los puntos cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante y denominada radio. Notese que la circunferencia es un tipo de elipse en que la distancia $a$ (distancia horizontal) y la distancia $b$ (distancia vertical) son iguales.

MATH Circunferencia con centro en el punto (h,k)

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$ Circunferencia con centro en el origen.


Las Secciones Conicas__48.pngMATH

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