Al igual que en el caso de rectas en el espacio, un plano puede quedar determinado especificando diversos elementos. Por ejemplo exigiendo que dicho plano pase por un punto específico y que además sea perpendicular a un vector. De la misma manera que en el caso de las rectas, aquí sólo ilustraremos, a través de un caso, la forma de hallar la ecuación de un plano:
El plano que pasa por el punto
y es perpendicular al vector
tiene la siguiente ecuación cartesiana:
Demostración. Sea
un punto arbitrario sobre el plano. Entonces el vector
es un vector que es paralelo al plano para todo punto
sobre él. Ahora, como el vector
,
es perpendicular al plano, se deduce que ambos vectores deben ser ortogonales
para todo
.
Esto significa que
Es decir:
lo que demuestra la proposición.
Considere el plano
y la recta:
Suponga que los vectores
y
son
no nulos. Entonces el plano y la recta:
En el segundo caso, si uno de los coeficientes, por ejemplo,
es nulo, entonces el correspondiente coeficiente
también debe ser nulo.
Demostraci\on. Un vector perpendicular al plano es
y un vector paralelo a la recta es
.
Por lo tanto el plano y la recta son paralelos si y sólo si
.
Esto demuestra la primera equivalencia. Ahora, el plano y la recta son
perpendiculares si
y
tienen la misma dirección, esto es, si existe un número real no nulo
,
tal que
,
es decir
igualando coordenadas y despejando
,
se obtiene la segunda equivalencia. Esto termina la demostración.
Halle una fórmula para la distancia desde el punto
al plano dado por la ecuación
Solución. Recordemos que el vector
es un vector perpendicular al plano. Como este vector obviamente no es nulo,
al menos una de sus componentes es diferente de cero. Sin pérdida de
generalidad podemos suponer que
.
Una simple comprobación muestra que el punto
per-te-ne-ce al plano y en consecuencia la distancia buscada es precisamente
la norma del vector proyección
en donde
.
Por lo tanto, se tiene:
Halle la ecuación del plano que pasa por el punto medio del segmento que
une los puntos
y
y que es perpendicular a dicho segmento.
Solución. El punto medio
del segmento que une
y
se obtiene sumando las coordenadas respectivas y dividiendo por dos. Esto es
Por otra parte, un vector normal al plano buscado es, por ejemplo
y
por lo tanto, como el vector
también es perpendicular al plano, se obtiene que la ecuación de
dicho plano es:
o
equivalentemente
.
Aún cuando el uso de computadores (ordenadores) es una herramienta extremadamente útil cuando se trata de graficar funciones (implícitas o explícitas), usualmente es muy conveniente adquirir un buen conocimiento de algunas curvas clásicas del plano.
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